Аннотация:
Излагается общий подход к исследованию тесно связанных между собой необходимых условий экстремума в задачах с ограничениями и теорем об обратной и неявной функциях в вырожденных (анормальных) точках.
Рассмотрим систему нелинейных уравнений $\mathbf F(x)=y$, где $\mathbf F$ – гладкое отображение банахова пространства $X$ в другое банахово пространство (для простоты эти пространства можно считать конечномерными). Если точка $x_0$ вырождена, т.е. линейный оператор $\mathbf F'(x_0)$ не является сюръективным (например, $\mathbf F'(x_0)=0$), то в точке $x_0$ классическая теорема об обратной функции неприменима. Излагаются теоремы об обратной и неявной функции, которые применимы и в вырожденных точках.
Рассмотрим классическую экстремальную задачу с ограничениями
$$
\varphi(x)\to\min,\qquad f_i(x)=0,\quad i=1,2,\dots,k,\qquad x\in X.
$$
Здесь гладкие функции $f_i$ задают ограничения, а $\varphi$ – минимизируемый функционал. Пусть $x_0$ – локальный минимум. Если точка $x_0$ вырождена (анормальна), т.е. градиенты ограничений $f_i'(x_0)$ линейно зависимы, то принцип Лагранжа вырождается (неинформативен), а классические необходимые условия второго порядка не выполняются. Излагается теория необходимых условий первого и второго порядков, одинаково содержательная как для вырожденных, так и для невырожденных задач. Эти результаты являются развитием принципа Лагранжа.
Классический пример подобной анормальной задачи: является ли заданная квадратичная форма неотрицательной (или обращается ли она в нуль) на пересечении квадрик. Излагаемая теория позволяет дать ответы на эти вопросы.
Все излагаемые в докладе результаты содержательны и в конечномерном случае (даже, если $X$ – трехмерное пространство).
Список литературы
А. В. Арутюнов, “Гладкие анормальные задачи теории экстремума и анализа”, УМН, 67:3(405) (2012), 3–62; A. V. Arutyunov, “Smooth abnormal problems in extremum theory and analysis”, Russian Math. Surveys, 67:3 (2012), 403–457
Обратная связь: