Ортогональные пары в $sl(6)$

Это доклад по совместной работе с А.И.Бондалом.
Ортогональным разложением алгебры Ли $\cal L$ называется разложение в прямую сумму картановских подалгебр: ${\cal L} = \oplus^{h+1}_{i=1} {\cal H}_i$, при этом картановские подалгебры ортогональны в смысле формы Киллинга. В случае $sl(n)$ была сформулирована гипотеза: $sl(n)$ имеет ортогональное разложение тогда и только тогда, когда $n = p^m$, где $p$ - простое. Первым шагом к решению этой задачи - классификация пар ортогогональных картановских подалгебр (так называемые ортогональные пары) в $sl(n)$.
Будет рассказано об алгебро-геометрических подходах, (включающих в себя теорию представлений, методы алгебраической и дифференциальной геометрии) к задаче классификации ортогональных пар в $sl(n)$. Расскажу о 4-хмерном семействе ортогональных пар в $sl(6)$. Также будет рассказано об очень близкой задаче о классификации взаимно-несмещенных базисах (mutually unbiased bases) из квантовой механики.