Полугруппы матриц с постоянным спектральным радиусом

В многочисленных задачах комбинаторики, теории динамических систем, алгебры, теории функций и т.д. встречаются (мультипликативные) полугруппы матриц со спектральным радиусом 1. Они характеризуются свойством: все матрицы таких полугрупп ограничены по норме сверху и снизу. К ним, очевидно, принадлежат полугруппы, состоящие из ортогональных матриц, а также полугруппы, состоящие из стохастических матриц. На самом деле, многообразие таких полугрупп гораздо богаче и до конца не охарактеризовано. Мы рассмотрим геометрический подход к этой проблеме, который сводит изучение таких полугрупп к некоторым инвариантам на евклидовой сфере. В результате мы получаем полную классификацию в малых размерностях а также в случае неотрицательных матриц, решаем задачу о распознавании таких полугрупп. Будет сформулирован ряд гипотез и рассмотрены некотрые приложения.