Геометрия кратных вариаций в задаче деформационного квантования теории поля

Вариации зависимых переменных – например, канонически сопряжённых (анти)полей или (анти)духов в супергеометрии Баталина-Вилковыского – следует понимать как сингулярные линейные интегральные операторы, действующие на подходящем пространстве основных функционалов (в частности, содержащем функционал действия). В первой части доклада я объясню, какова геометрия интегрирований по частям – например, при выводе уравнений Эйлера-Лагранжа – и почему кратные вариации при правильном их понимании становятся перестановочными (если требуется, в $\mathbb Z/2\mathbb Z$-градуированном смысле). Будет объяснено, почему определения таких используемых в математической физике структур, как нечётный вариационный лапласиан и вариационная скобка Схоутена, являются алгоритмами переклейки нормализованных спариваний вариаций и функционалов. Этот подход позволил строго доказать справедливость важных тождеств, ранее принимавшихся для указанных структур на веру, без обоснования (подробности см. в [1312.1262] и [1210.0726 v3]).
Во второй части доклада будет показано, как геометрия кратных вариаций работает в решении задачи деформационного квантования моделей теории поля; в частности, будет предъявлена и обоснована формула вариационного аналога некоммутативного ассоциативного мойеловского $\star$-произведения. Его непосредственным, хорошо известным обобщением является формула Концевича деформационного квантования структуры умножения в алгебре функций на произвольном конечномерном пуассоновом многообразии (см. [q-alg/9709040]). Мы же увидим, каково – в нетривиальном смысле, дословное – прочтение формулы суммирования по графам в конструкции $\star$-произведения для алгебры локальных функционалов и почему вариационные пуассоновы структуры (описываемые гамильтоновыми дифференциальными операторами) задают точки пространств модулей деформационных квантований теоретико-полевых моделей.