Представления некоторых групп Ли и их проективизация как средство описания симметрии спиновых состояний

Для ряда групп Ли, используемых в теоретической физике ($\mathrm{SU}(2)$, $\mathrm{SL}(2,{\mathbb C})$ и некоторых других) будут рассмотрены комплексные неприводимые представления и их проективизация. Будет показано, что проективизации представлений веса $1$ и выше не действуют транзитивно, в отличие от веса $\frac{1}{2}$. В некоторых простых случаях будут описаны орбиты в $\mathbb{CP}^n$ и стабилизаторы, то есть, дана классификация «состояний» (элементов $\mathbb{CP}^n$) по симметрии. Будет дано определение «оператора момента импульса (спина)» со значениями в алгебре Ли и показано, как построенная классификация по симметрии соотносится с собственными векторами его одномерных проекций, т.е., с состояниями с однозначно определённым количеством вращения в заданном направлении.