Нормальная форма для дифференциального уравнения второго порядка

Известный факт, восходящий к С. Ли, Э. Картану и А. Трессе гласит, что (неособые) обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка обладают жесткостью, то есть малое шевеление одного такого уравнения приводит к уравнению, неэквивалентному исходному посредством точечных преобразований (т.е. преобразований, индуцированных диффеоморфизмами плоскости независимой и зависимой переменных). Для решения данной задачи эквивалентности было разработано несколько подходов. В частности, В. Арнольд построил нормальную форму для таких дифференциальных уравнений. Известно, тем не менее, что нормальная форма Арнольда неполна (т.е. у одного и того же уравнения имеется функционально много нормальных форм).
В данной работе мы рассказываем о новом подходе к задаче эквивалентности ОДУ второго порядка (и гораздо более общих систем дифференциальных уравнений). Подход основан на нормальных формах для пространств решений таких уравнений. В качестве приложения получается построить и (сходящуюся) полную нормальную форму для ОДУ второго порядка. Такая нормальная форма определена с точностью до действия проективной группы плоскости. Вдобавок, возникают интересные канонические кривые, ассоциированные с уравнением, которые мы называем цепями.