Распределение числа точек гиперэллиптической кривой над конечным полем

Рассказ основан на работе Par Kurlberg и Zeеv Rudnick "The fluctuations in the number of points on a hyperelliptic curve over a finite field". Рассматрим множество всех гиперэллиптических кривых рода g над полем из q элементов. Количество точек на кривой — это дискретная функция на этом множестве со значениями в интервале [0, 2q+2]. Естественно рассмотреть вопрос об её поведении при бесконечном росте либо q, либо g, либо q и g одновременно (в определенном смысле). Используя комбинаторику и вычисление моментов, авторы описали поведение соответствующей функции в последних двух случаях. Аналогичный ответ на первый вопрос можно найти в книге Nicholas Katz и Peter Sarnak "Random matrices, Frobenius eigenvalues and monodromy" в терминах следов унитарных симплектических матриц размера 2g.