Граф-усечения простых многогранников и приложения

В работе В. М. Бухштабера и В. Д. Володина 2012 года изложена теория $2$-усеченных кубов и её приложения к известным задачам комбинаторики флаговых многогранников. В основе этой теории лежит операция усечения простого многогранника $P$ вдоль грани $F$ коразмерности $2$. Эта операция замечательна тем, что переводит простой многогранник в простой и флаговый многогранник в флаговый. Она позволила ряд семейств флаговых многогранников (ассоциэдры, нестоэдры, кубиэдры, и др.), играющих важную роль в торической геометрии, торической топологии и естественно возникающих в теории особенностей, теории кластерных алгебр, теории квантовых групп, задачах математической физики, реализовать как $2$-усеченные кубы.
В настоящей работе мы развиваем теорию и приложения, основанные на более общей операции граф-усечения простых многогранников, использующую понятие допустимого графа набора граней коразмерности $2$ данного простого многогранника. Показано,что эта операция переводит простой многогранник в простой и флаговый многогранник во флаговый. Особое внимание уделено трехмерным многогранникам, где имеется замечательный класс многогранников - фуллерены, которые не являются $2$-усеченными кубами. Показано, что каждый фуллерен является флаговым многогранником. Введено понятие граф-фуллерена. Описаны все граф-фуллерены, которые можно получить из куба, ассоциэдра (многогранника Сташефа), циклоэдра (многогранника Ботта-Таубса). Среди них имеются комбинаторно не эквивалентные фуллерены, у которых наборы двумерных граней совпадают. Показано, что не существует граф-фуллеренов, которые можно получить из тетраэдра и пермутоэдра.