Обобщенное некоммутативное вырождение спектральной последовательности от когомологий Ходжа к когомологиям де Рама

Как известно, разложение Ходжа для когомологий де Рама компактного кэлерова многообразия влечет вырождение спектральной последовательности от когомологий Ходжа $H^q(X,\Omega^p)$ гладкого проективного многообразия $X$ над полем характеристики нуль к (алгебраическим) когомологиям де Рама $H^n_{DR}(X)$. Последний факт можно переформулировать как вырождение спектральной последовательности от гомологий Хохшильда $HH_{\bullet}(D^b(X))$ к периодическим циклическим $HP_{\bullet}(D^b(X))$, где D^b(X) — DG категория, являющяяся оснащением производной категории когерентных пучков на $X$. Гипотеза Концевича состоит в том, что такое вырождение имеет место для любой гладкой компактной DG категории (экивалентно, можно рассматривать только случай DG алгебр). Эта гипотеза была доказана Калединым для неотрицательно градуированных DG алгебр. Мы сформулируем некоторую более общую гипотезу для любой пары малых DG категорий над полем характеристики нуль, которая утверждает зануление некоторого отображения между биаддитивными инвариантами. Удивительным образом, уже в случае пары ассоциативных алгебр (т.е. DG алгебр, сосредоточенных в степени нуль, без дифференциала) эта гипотеза оказывается нетривиальной, и доказать ее получается только над полем положительной характеристики. Ожидается, что метод доказательства обобщается на любые малые DG категории, с естественной оговоркой о том, что характеристика должна быть достаточно большая. При этом стандартная процедура редукции в положительную характеристику должна дать доказательство для исходного случая гладких компактных DG категорий над полем характеристики нуль.