Функциональное исчисление Тэйлора и производные категории

Я расскажу об одном применении производных категорий к функциональному анализу, точнее — к многомерной спектральной теории линейных операторов в банаховом пространстве. Пусть E — банахово пространство, и пусть T=(T_1,...,T_n) — набор коммутирующих ограниченных линейных операторов в E. Голоморфным исчислением от набора T на открытом множестве U в C^n называется непрерывный гомоморфизм из алгебры голоморфных функций на U в алгебру ограниченных линейных операторов в E, переводящий координаты z_1,...,z_n в операторы T_1,...,T_n соответственно. В случае n=1 классическая теорема Гельфанда (1941) утверждает, что такой гомоморфизм существует тогда и только тогда, когда U содержит спектр T. После этого в течение ряда лет предпринимались попытки обобщить теорему Гельфанда на n-мерный случай. Наконец, в 1970 г. Дж. Тэйлор придумал "правильное" определение спектра для набора коммутирующих операторов и доказал n-мерный аналог теоремы Гельфанда. Первоначальная конструкция Тэйлора была весьма сложна. Два года спустя Тэйлор придумал принципиально новое доказательство, существенно более прозрачное и опирающееся на методы "классической" гомологической алгебры (в духе Картана-Эйленберга) в категориях модулей Фреше. Цель моего рассказа — показать, что теорема Тэйлора наиболее естественно формулируется и доказывается в контексте производных категорий.