Пометки диаграмм Дынкина и когомологии Галуа односвязных вещественных групп

Пометкой (labeling) конечного графа D называется набор числовых меток $a_i$, равных 0 или 1, где i пробегает множество вершин графа D. Мы говорим, что вершины i и j - соседние, если они соединены ребром. Мы определяем элементарное преобразование $T_i$ множества пометок графа следующим образом: $T_i$ не меняет $a_j$ для вершин j отличных от i, а к числовой метке $a_i$ оно прибавляет (по модулю 2) сумму меток $a_k$ по всем вершинам k соседним с i. Мы говорим, что две пометки графа D эквивалентны, если от одной из них можно перейти к другой посредством цепочки элементарных преобразований. На первом часу доклада я собираюсь описать классы эквивалентности пометок для важного класса графов: для диаграмм Дынкина.
На втором часу я расскажу про задачу вычисления множества когомологий Галуа H^1(R,G) односвязной простой вещественной алгебраической группы G. Количество элементов этого конечного множества с отмеченной точкой вычислил Джеффри Адамс в препринте 2013 года, опираясь на результаты докладчика 1988 года. Для некоторых приложений недостаточно знать только количество элементов. Оказывается, что если G - компактная, односвязная, простая алгебраическая группа над полем R вещественных чисел, то множество ее когомологий Галуа $H^1(R,G)$ - это в точности множество классов эквивалентности пометок диаграммы Дынкина D группы G. Таким образом, используя пометки диаграмм Дынкина, мы даем явное функториальное описание множества с отмеченной точкой $H^1(R,G)$.
Когомологии Галуа естественно появляются в задаче классификации тензоров данного типа над R (например, пар квадратичных форм) с точностью до замены координат. Множество вещественных тензоров, эквивалентных над полем комплексных чисел данному тензору t, разбивается на конечное число классов эквивалентности над R, и эти классы эквивалентности соответствуют элементам ядра отображения

$$ H^1(R, H) ---> H^1(R, G),$$

где H - некоторая R-подгруппа некоторой R-группы G. Если G и H - односвязные группы, мы можем вычислить это ядро, используя пометки диаграмм Дынкина.
Это совместная работа с Цахи Эвенором (Zachi Evenor). От слушателей не предполагается никаких предварительных знаний об алгебраических группах и когомологиях Галуа.