Метод сдвига аргумента и секционные операторы: новые приложения в дифференциальной геометрии

Метод сдвига аргумента был предложен А.С.Мищенко и А.Т.Фоменко в 1976 г. как обобщение конструкции С.В.Манакова, доказывающей интегрируемость уравнений движения многомерного твердого тела. В исходной постановке этот метод приводил к построению широкого класса интегрируемых систем на конечномерных алгебрах Ли $\mathfrak g$. Наиболее интересными среди таких систем являются системы с квадратичными гамильтонианами вида $H(x)= \frac{1}{2} \langle R(x), x \rangle$, где $R:\mathfrak g^* \to \mathfrak g$ — некоторый симметричный оператор, называемый секционным. Такие системы можно интерпретировать как редукции геодезических потоков левоинвариантных метрик на группах Ли, и это было одним из наиболее ярких приложений метода сдвига аргумента в дифференциальной геометрии.
В последнее время были обнаружены новые и весьма неожиданные приложения секционных операторов, возникающих в методе сдвига аргумента. Ключевое наблюдение здесь заключается в том, что их можно интерпретировать как операторы (тензоры) кривизны некоторых замечательных римановых, псевдоримановых и кэлеровых метрик. Замечательным фактом является то, что это наблюдение, интересное само по себе, сыграло исключительно важную роль в доказательстве новых нетривиальных результатов в проективной геометрии и теории групп голономий.
Доклад можно рассматривать как обзор недавних результатов, полученных В.Матвеевым, В.Киосаком, Д.Цоневым, С.Роземаном и Т.Метлером при участии автора.