Бесконечные каскады Костанта

Пусть $\mathfrak{g}(n)$ — классическая простая алгебра Ли ранга $n$, $\mathfrak{n}(n)$ — максимальная нильпотентная подалгебра в ней, $U(\mathfrak{n}(n))$ — её универсальная обёртывающая алгебра. Б. Костантом было получено описание образующих центра $Z(\mathfrak{n}(n))$ алгебры $U(\mathfrak{n}(n))$ в терминах так называемых каскадов строго ортогональных корней (в докладе я подробно расскажу, как они устроены). В частности, $Z(\mathfrak{n}(n))$ всегда является кольцом многочленов.
Далее, пусть $\mathfrak{g}=\varinjlim\mathfrak{g}(n)$ — прямой предел алгебр $\mathfrak{g}(n)$ относительно естественных вложений, $\mathfrak{n}$ — максимальная локально нильпотентная подалгебра в $\mathfrak{g}$. Система корней алгебры $\mathfrak{g}$ — это прямой предел систем корней алгебр $\mathfrak{g}(n)$ относительно естественных вложений. Будет показано, как с помощью некоторых — возможно, бесконечных — строго ортогональных подмножеств системы корней $\mathfrak{g}$, обобщающих конструкцию Костанта в конечномерном случае, получить явное описание центра алгебры $U(\mathfrak{n})$. В частности, центр будет кольцом многочленов (быть может, от бесконечного числа переменных).
Кроме того, в конечномерном случае метод орбит позволяет описать все примитивные идеалы в $U(\mathfrak{n}(n))$, то есть аннуляторы простых $\mathfrak{n}(n)$-модулей. Оказывается, что существует биекция между множеством коприсоединённых орбит в $\mathfrak{n}(n)^*$ и множеством примитивных идеалов (так называемое отображение Диксмье; в докладе я опишу, как оно строится). Более того, оказывается, что центрально порождённые идеалы соответствуют при этом отображении регулярным орбитам, то есть орбитам максимальной размерности. Это можно рассматривать как аналог теоремы М. Дюфло о том, что каждый минимальный примитивный идеал в универсальной обёртывающей алгебре полупростой алгебры Ли центрально порождён.
Будут описаны подходы к определению отображения Диксмье в бесконечномерном случае. В частности, я дам определение регулярной орбиты и докажу, что каждый центрально порождённый идеал в $U(\mathfrak{n})$ получается из регулярной орбиты при помощи аналога отображения Диксмье. Кроме того, с помощью бесконечных каскадов Костанта будет явно построена система образующих такого идеала.
Доклад основан на совместной работе с И. Пенковым.