Перемежаемость и произведение случайных матриц

Описание процессов, протекающих в случайных средах, при определенных предположениях сводится к изучению дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами. Отсюда естественным образом возникает задача о выводе статистических свойств решений подобных уравнений. Еще до того, как эти вопросы оформились в строгой математической теории, на физическом уровне было предсказано наличие целого ряда удивительных особенностей в поведении решений, ключевое из которых – явление перемежаемости. В присутствии явления перемежаемости оказывается затруднительным получение точных оценок для скоростей роста моментов решений без учета маловероятных реализаций с экстремальными значениями. Подобное положение дел существенно осложняет интерпретацию результатов численного моделирования. С другой стороны, в математической теории Ферстенберга и Тутубалина, которая была сформулирована в терминах произведения случайных матриц, вопрос о нахождении скоростей роста оказался эквивалентным нахождению стационарного распределения порожденной цепи Маркова, т.е. решению интегрального уравнения. Хотя этот подход уже и не зависит от возможностей генераторов случайных чисел, но явно решить уравнение можно лишь в простейших ситуациях, а в практически интересных задачах даже численный подход оказывается крайне трудоемким, что долгое время удерживало от попыток продвинуться по этому пути. В докладе на примере уравнения Якоби будет представлен, по-видимому, первый опыт численного решения данной задачи и изложены первые результаты для случая матриц 3х3, который представляет главный интерес.