Согласованные лиевы структуры на полупростых алгебрах Ли (по работе А. Панасюка)

Пара скобок Ли $[\cdot,\cdot]$ и $[\cdot,\cdot]'$ на векторном пространстве $\mathfrak{g}$ называется согласованной, если любая их линейная комбинация тоже является скобкой Ли (в другой терминологии, задан пучок лиевых структур на $\mathfrak{g}$). Рассматривается задача классификации таких согласованных лиевых структур в ситуации, когда одна из них, скажем $[\cdot,\cdot]$, задаёт на $\mathfrak{g}$ структуру полупростой комплексной алгебры Ли.
Легко видеть, что скобка Ли $[\cdot,\cdot]'$ согласована с $[\cdot,\cdot]$ тогда и только тогда, когда она является 2-коциклом алгебры Ли $\mathfrak{g}$ со значениями в присоединённом модуле. Если $\mathfrak{g}$ полупроста, то этот коцикл является кограницей некоторого линейного оператора $W$ на $\mathfrak{g}$, называемого слабым оператором Нийенхейса. Кограница $[\cdot,\cdot]'=dW$ произвольного линейного оператора $W$ на $\mathfrak{g}$ является скобкой Ли тогда и только тогда, когда так называемый тензор кручения Нийенхейса $T_W(x,y)=[Wx,Wy]-W[x,y]'$ является 2-коциклом. Для полупростой алгебры Ли этот коцикл является кограницей ещё одного линейного оператора $P$, называемого примитивом оператора $W$. Эти операторы определены с точностью до прибавления внутренних дифференцирований, однако оказывается, что можно сделать канонический выбор слабого оператора Нийенхейса и его примитива, называемых главными. Таким образом, классификация согласованных лиевых структур на полупростой алгебре Ли сводится к классификации пар $(W,P)$ главных операторов Нийенхейса и их главных примитивов.
Если ограничиться полупростыми операторами Нийенхейса, сохраняющими корневое разложение, в решении этой задачи удаётся существенно продвинуться. Важную роль тут играют собственные числа оператора Нийенхейса и конечный набор значений параметра $t$, при которых лиева структура $[\cdot,\cdot]-t[\cdot,\cdot]'$ не полупроста. С помощью этих данных строятся инварианты, позволяющие разбить все согласованные лиевы структуры рассматриваемого типа на два класса. В каждом из классов удаётся провести частичную классификацию согласованных лиевых структур, охватывающую весь известный список примеров. Имеется предположение, что эта классификация полна.