Условия быстрого убывания функций концентрации сверток вероятностных распределений

Пусть $X,X_1,\ldots,X_n$ – независимые одинаково распределенные случайные величины с общим распределением $F=\mathcal L(X)$. Функция концентрации Леви случайной величины $X$ определяется равенством
$$Q(F,\lambda)=\sup_{x\in\mathbf{R}}F\{[x,x+\lambda]\}, \quad \lambda>0.$$
Пусть $a=(a_1,\ldots,a_n)\in \mathbf{R}^n$, $a\ne0$. Мы рассмотрим вопрос о поведении функции концентрации случайной величины $\sum_{k=1}^{n}a_k X_k$ в зависимости от арифметической структуры коэффициентов $a_k$. Этот вопрос часто называют проблемой Литтлвуда–Оффорда. Интерес к нему в последнее время значительно возрос в связи с изучением распределений собственных чисел случайных матриц. В докладе будут сформулированы и доказаны уточнения недавних результатов Фридланда и Содина (2007), Рудельсона и Вершинина (2009), Вершинина (2014).