Предельные теоремы для функционалов от слабо зависимых случайных полей (представление докторской диссертации)

Предельные теоремы — интенсивно развивающийся раздел современной теории вероятностей, имеющий самые разнообразные приложения. Значительное место среди них занимают результаты о поведении систем зависимых мультииндексированных случайных величин. Основные трудности в исследовании таких систем связаны с отсутствием в многомерном евклидовом пространстве естественного частичного порядка и необходимостью анализировать зависимость компонент случайной системы. В диссертации рассматривается несколько классов случайных процессов и полей, удовлетворяющих различным условиям зависимости.
Глава 1 содержит новые нетривиальные примеры случайных систем, обладающих свойством ассоциированности либо его обобщениями. Эти примеры связаны с теорией систем с локальным взаимодействием, случайными мерами и процессами нелинейной авторегрессии.
Во второй главе дана оценка точности нормальной аппроксимации для сумм слабо зависимых случайных величин, индексированных элементами транзитивной группы, при минимальных условиях на вид растущих множеств суммирования. Также в условиях ассоциированности случайного поля дана общая форма закона повторного логарифма, являющаяся новой уже для сумм независимых слагаемых. Впервые доказана асимптотическая нормальность оценки долгосрочной дисперсии слабо зависимого случайного поля, дающая возможность строить приближенные доверительные интервалы.
Глава 3 посвящена сильному принципу инвариантности для положительно и отрицательно зависимых случайных полей. Получено существенное усиление ранее известных результатов, основанное на новой технике сильной аппроксимации зависимых случайных последовательностей наборами независимых случайных величин с такими же одномерными распределениями. Для ассоциированных систем и их обобщений такая техника разработана впервые и опирается на теорию идеальных вероятностных метрик.
Глава 4 содержит предельные теоремы для нелинейных функционалов от случайных полей, определяемых геометрией их экскурсионных множеств. В условиях слабой зависимости, обобщающих ассоциированность, доказана функциональная предельная теорема для преобразованных объемов множеств уровня. Для этого установлено новое моментное неравенство для сумм зависимых случайных величин по множествам произвольной структуры, обобщающее многие предшествующие результаты. Для непрерывных гауссовских полей впервые исследованы случайные процессы, порожденные мерами Хаусдорфа множеств уровня гауссовского поля (берущихся в ограниченном измеримом окне наблюдения). Показано, что при широких условиях описанный процесс непрерывен, и исследована его сходимость по распределению к явно описанному гауссовскому пределу как в гильбертовом пространстве на прямой с гауссовской нормировкой, так и в пространстве непрерывных функций.
Таким образом, установлен целый ряд взаимосвязанных результатов, в том числе оптимальных, относящихся к асимптотическому анализу зависимых случайных полей.