Средние значения непрерывных функций на пространстве конфигураций

В 1934 г. А. Безикович рассмотрел вопрос о том, каков “размер” множества точек отрезка $[0,1]$, в двоичном разложении которых единица встречается с частотой $p$ (при $p=1/2$ лебегова мера этого множества равна нулю). Ответ, выраженный в терминах хаусдорфовой размерности, имеет вид $[p\ln p+(1-p)\ln(1-p)]/\ln2$. Этот вопрос является частным случаем проблемы вычисления так называемого мультифрактального спектра временных средних для непрерывной функции на пространстве последовательностей. В докладе будет рассказано о решении этой задачи для более общей ситуации, когда пространство последовательностей заменяется на пространство многомерных конфигураций, а скалярная функция – на векторную, а также о некоторых близких задачах и о том, какое отношение ко всему этому имеют идеи, пришедшие из статистической физики. Все новые результаты, о которых пойдет речь, получены совместно с А. А. Темпельманом.