Симметрические многочлены и многочлены Шуберта. Занятие 1

Многочлен от нескольких переменных $x_1,\dots,x_n$ называется симметрическим, если он инвариантен относительно любых перестановок переменных. Примерами таких многочленов являются, например, элементарные симметрические многочлены: $x_1+\ldots+x_n$, $\sum\limits_{ i \lt j } x_i x_j$, …, $x_1\ldots x_n$. Основная теорема о симметрических многочленах утверждает, что любой симметрический многочлен можно выразить через элементарные, причем единственным образом.
Мы начнем со следующего вопроса: а какие еще наборы многочленов можно взять вместо элементарных симметрических? Мы увидим несколько таких наборов, после чего определим многочлены Шура — базис в пространстве симметрических многочленов, параметризуемый разбиениями (т.е. диаграммами Юнга), и обсудим, чем этот базис замечателен. Например, коэффициенты при всех мономах любого многочлена Шура неотрицательны, что совершенно не очевидно из определения. Мы докажем этот факт комбинаторно, установив соответствие между этими мономами и таблицами Юнга — способами заполнить клетки диаграммы Юнга натуральными числами по определенным правилам.
Многочлены Шура оказываются полезными во многих комбинаторных задачах. С их помощью мы получим доказательство формулы Макмагона, вычисляющей количество трехмерных диаграмм Юнга — фигурок из кубиков, которые умещаются в коробку заданных размеров.
Во второй части нашего курса мы рассмотрим многочлены, обладающие частичными симметриями — т.е. инвариантные относительно не всех, а лишь некоторых перестановок. Эти многочлены можно описать иначе: они аннулируются соответствующими операторами разделенных разностей. Это даст нам уже базис в пространстве всех многочленов, обобщающий базис из многочленов Шура — его элементы называются многочленами Шуберта и параметризуются перестановками. Все коэффициенты многочленов Шуберта опять-таки будут неотрицательными. Они тоже допускают комбинаторное описание, но вместо таблиц Юнга нужно взять некоторые картинки, которые по-английски называются pipe dreams (и напоминают фигурки из одноименной компьютерной игры).
Если останется время, мы обсудим, как многочлены Шуберта и pipe dreams возникают в геометрии в связи с разложением Брюа для группы $GL(n)$.