Разбиение поверхностей на многоугольники и задачи, пришедшие из физики, химии и биологии. Лекция 1

Разбиение поверхности на многоугольники называется регулярным, если в каждой вершине сходится только три ребра и если два многоугольника только по ребру. Комбинаторика таких разбиений – это область исследований на пересечении классических и самых современных разделов математики и её приложений. Условие регулярности разбиения поверхности позволяет дополнить классическую формулу эйлеровой характеристики формулой, в которую входит вектор $(p_3,\dots,p_k,\dots)$, где $p_k$ – число $k$-угольников, входящих в разбиение. Следствия этой формулы нетривиальны уже в случае сферы, рассматриваемой как граница выпуклого трёхмерного тела. Например, когда в регулярном разбиении сферы участвуют только пятиугольники и шестиугольники, то число пятиугольников должно быть $12$.
Результаты по комбинаторике регулярных разбиений поверхностей стали очень актуальными в связи с открытием замечательных молекул углерода – фуллеренов (нобелевская премия по химии 1996 г., Р. Кёрл, Х. Крото, Р. Смолли). Математическая модель фуллерена это поверхность выпуклого многогранника, разбитая на пятиугольники и шестиугольники. Большой толчок в интенсификации исследований в этом направлении дало открытие такой углеродной структуры, как графены (нобелевская премия по физике 2010 г., А. К. Гейм, К. С. Новосёлов). Математическая модель графена это плоскость, разбитая на шестиугольники. Графеновая плоскость индуцирует разбиение поверхности тора на шестиугольники. В квантовой физике и химии к математическим задачам о разбиении поверхностей приводят такие углеродные структуры, как нанотрубки и нанопочки. В биологии к близким задачам приводят вопросы о структуре вирусов.
В лекциях будет дано достаточно элементарное изложение постановок задач и результатов тех разделов математической теории разбиения поверхностей на многоугольники, которые используются в указанных направлениях приложений в физике, химии и биологии.