Вероятность пробоя на треугольной решетке – и при чем тут дискретный комплексный анализ? Лекция

Рассмотрим прямоугольник, составленный из маленьких правильных шестиугольных плиток. Подкинем для каждой из этих плиток монетку, и, если выпадет орел, объявим ее открытой, а иначе закрытой. С какой (примерно) вероятностью от левого края прямоугольника до правого можно дойти путем, проходящим только по открытым плиткам?

Этим и многими другими схожими вопросами занимается теория протекания – историю которой принято отсчитывать с работы 1957 года, в которой Хаммерсли и Броадбент изучали прохождение газа через угольный фильтр противогаза для шахтеров.
Ответ на вопрос о вероятности пробоя дается (на первый взгляд пугающей) формулой Карди, предсказанной им в 1991-м из соображений конформной теории поля. Строго эта формула – в гораздо более приятно выглядящей переформулировке Л. Карлесона – была доказана лишь десять лет спустя С. К. Смирновым в его работах 2001-го года (одних из тех, за которые в 2010-м он получил премию Филдса).
В нашем курсе мы, хоть и не в деталях, обсудим доказательство этой формулы – опирающееся на такую удивительную вещь, как дискретный комплексный анализ. Начальную часть последнего мы сначала построим, а затем ею воспользуемся; интересно, что некоторые утверждения в дискретном анализе доказываются проще, чем их непрерывные аналоги.
Наконец, мы обсудим описание формы границы связной компоненты (точнее, границы между двумя большими связными компонентами открытых и закрытых плиток). Оказывается, что такие границы ведут себя, как фракталы — в частности, в прямоугольнике с размерами порядка $N$ путь пробоя, скорее всего, будет состоять из примерно (по порядку роста) $N^{4/3}$ плиток. Вопрос о поведении границы – дорога, ведущая к уравнению эволюции Шрамма–Левнера, при разных параметрах (доказано или гипотетически) описывающему случайные пути во многих задачах: блуждания со стиранием петель, двойных димеров, границы между областями для критического намагничивания, и многих других.
Для понимания курса должно быть достаточно хорошего знакомства с комплексными числами, и интуитивного понимания теории вероятностей. Я надеюсь сделать этот курс полностью доступным студентам и интересующимся одиннадцатиклассникам.