О теореме Дирихле о единицах. Лекция 5

В этом курсе мы рассмотрим красивую математическую задачу, которой математики занимались ещё в Древней Греции и Древней Индии – решение уравнения вида:
$$ x^2-q\cdot y^2=\pm1, $$
где $q$ – натуральное число, не являющееся квадратом. Уравнения такого типа называются уравнениями Пелля.
При больших значениях $x$ и $y$, удовлетворяющих этому уравнению, их отношение даёт нам хорошее приближение для $q$.
Мы увидим, как это уравнение связано с разными сюжетами алгебры и теории чисел, в частности, цепными дробями и теоремой Дирихле о единицах.
1. Диофантовы уравнения: линейные уравнения, пифагоровы тройки, уравнение Пелля.
2. Цепные дроби. Существование решения уравнения Пелля.
3. Числовые поля и кольца целых элементов. Единицы и классы идеалов.
4. Теорема Дирихле о единицах и уравнение Пелля.
Для понимания курса будет достаточно хорошего владения школьным курсом алгебры, никаких специальных знаний, выходящих за рамки школьной программы, не требуется. Все понятия мы введём и определим по ходу курса.