Сверхпроводимость, вихри и уравнения Гинзбурга–Ландау. Лекция 2

Как известно, многие металлы и сплавы при температурах, близких к абсолютному нулю, начинают вести себя как сверхпроводники – электрический ток течет по ним практически без сопротивления. Сверхпроводники обладают целым рядом замечательных свойств, открытие которых отмечено Нобелевскими премиями. Одним из таких свойств является образование внутри сверхпроводников вихрей – структур, напоминающих гидродинамические вихри, но в отличие от последних, обладающих целочисленной завихренностью. (По этой причине в сверхпроводящих течениях невозможна турбулентность.) Сверхпроводящие вихри являются решениями нелинейных уравнений типа Лапласа (называемых статическими уравнениями Гинзбурга–Ландау), явных формул для которых неизвестно. Однако Таубсу удалось полностью описать пространство таких решений.
Если теперь включить в рассматриваемой модели время, то можно поставить задачу об описании пространства динамических решений, удовлетворяющих нелинейным гиперболическим уравнениям Гинзбурга–Ландау. В отличие от статического случая, эта задача еще далека от своего решения. Можно однако описать т.н. адиабатический предел этих уравнений. В этом пределе динамические решения исходных уравнений будут переходить в геодезические на пространстве вихрей в метрике, задаваемой функционалом кинетической энергии. Тем самым, они допускают внутреннее описание в терминах пространства вихрей. Указанные геодезические описывают динамические решения исходных уравнений Гинзбурга–Ландау с малой кинетической энергией.
Из полученных теоретических результатов вытекают интересные практические следствия. Например, можно поставить вопрос о рассеянии двух вихрей при их лобовом столкновении. По симметрии ясно, что эти вихри должны либо отражаться друг от друга, либо рассеиваться под углом $\pi/2$. Оказывается реализуется вторая возможность, что видно и на реальных экспериментах. В докладе будут рассмотрены и другие, в том числе нерешенные, задачи, связанные с динамикой вихрей.