Аннотация:
В конце XX века выдающийся математик (филдсовский лауреат) Стивен Смейл подобно Давдиду Гильберту предложил свой список “задач следующего столетия”. Одной из этих задач под номером 8 (всего было 18) была задача: “Расширить математическую модель общей равновесной теории таким образом, чтобы включить установление цен.” Речь шла о классической модели общего экономического равновесия Эрроу–Дебре (1959). Эта задача многие годы будоражила умы ведущих экономистов, например, нобелевского лауреата П. Самуэльсона.
О решении этой задачи в частном случае (когда поиск равновесия сводится к поиску седловой точки) и пойдет речь. При этом акцент будет также сделан на том, чтобы процесс “установления цен” (а в общем случае “нащупывания” экономического равновесия, которое может характеризоваться не только ценами) был не только “естественным”, но и быстрым, чтобы его можно было использовать для эффективного вычисления равновесия.
Все это приведет нас к довольно интересной математике полезной также: при изучении эволюции (естественного отбора), при изучении предельных форм, при изучении и обобщении метода потенциалов Канторовича–Гавурина.
Мы постараемся объяснить как связана концепция равновесия по Нэшу, принцип отбора Дарвина и принцип максимума энтропии Джейнса. Как исходя из этого можно прийти к более сложным конструкциям экономического равновесия: конкурентному равновесию Вальраса.
Для того, чтобы почувствовать о какого рода задачах будет идти речь, ниже приведена модельная задачка (восходящая к Нестерову–деПальме), которая легко может быть соотнесена участниками школы с тем, как они будут выбирать время подъема на ЛШСМ-2014, чтобы с одной стороны поспать подольше, а с другой стороны не опоздать на первую лекцию.
Задача. Из жилого района в рабочий район утром должны отправляться $N=10000$ автомобилей. Водитель каждого автомобиля хочет приехать ровно к 9 часам утра в рабочий район. При этом каждая минута опоздания штрафуется в $a=10$ рублей, каждая потерянная минута в пути стоит $b=4$ рубля (сюда относится и время потерянное в пробке), а каждая потерянная минута в ожидании начала рабочего дня (если водитель приехал раньше времени) стоит $с=2$ рубля. Время в пути по свободной дороге занимает $T=60$ минут. Но при въезде на дорогу из жилого района есть узкое место, пропускная способность которого ограничена $3000$ автомобилей в час. В результате при въезде на основную дорогу может скапливаться пробка. Найдите равновесное распределение водителей по времени выезда (то есть по времени вступления в пробку (очередь) при выезде на основную дорогу).
Обратная связь: