Торические многообразия. Введение в алгебраическую геометрию. Лекция 1

Торическое многообразие – (относительно) простой пример алгебраического многообразия. На нем хорошо видны многие алгебро-геометрические объекты: пучки, сингулярности, дивизоры, теория пересечений...
Кроме того, теория торических многообразий связывает алгебраическую геометрию и геометрию (с акцентом на комбинаторику) выпуклых многогранников. Все, что происходит на уровне многогранников, можно перевести на алгебро-геометрический язык, и наоборот (см. программу ниже). Это современная математика, уже успевшая стать классической.

Программа курса
1. Аффинные алгебраические множества. Соответствия «точка – максимальный идеал» и «неприводимое множество – простой идеал». Конструкция «конус – алгебра полиномов Лорана – аффинное торическое многообразие». Уже интересно, т.к. становятся видны сингулярности многообразия.
2. Склеиваем многообразие из аффинных карт. Соответствие «многогранник – веер – торическое многообразие». Примеры: проективная прямая, проективная плоскость (видите, не так уж и страшно), поверхность Хирцебруха. Появляется структурный пучок.
3. Тор и его действие. Инвариантные подмногообразия. Соответствие «грани многогранника – инвариантные подмногообразия».
4. Раздутие точки на алгебраическом многообразии. Соответствие «раздутие – измельчение веера – отрезание уголка многогранника».
5. Пучки модулей на торическом многообразии. Соответствия «многогранник – обратимый пучок», «целая точка многогранника – глобальное сечение пучка», «сумма Минковского – тензорное произведение пучков». В этой связи абсолютно естественно появляются виртуальные многогранники.
6. Теория пересечений. Смешанные объемы, соответствия «смешанный объем – индекс пересечения», «неравенство Александрова–Фенхеля для смешанных объемов – неравенство Ходжа для индексов пересечения». Теорема Бернштейна–Кушниренко о числе корней системы полиномиальных уравнений.

От слушателей требуется владение понятиями «коммутативное кольцо», «идеал», «фактор», «поле», «гомоморфизм», «действие группы», «орбита», «проективная плоскость», «комплексные числа».