О дифференцировании многозначных отображений и прямой метод исследования задач с дифференциальными включениями

В докладе развивается аппарат дифференцирования многозначных отображений и метод касательных конусов решения оптимизационных задач с дифференциальными включениями из банаховых пространств.
1. Пусть $E,E_1,E_2$ – сепарабельные банаховы пространства. Обозначим через $\mathcal{P}(E)$ ($\mathcal{F}(E)$) множество всех непустых (замкнутых) подмножеств из $E$. Для невыпуклого множества $A$ из $E$ широко известны понятия нижний касательный конус $T_{H}(A;a)$, верхний касательный конус (иначе: контингентный конус) $T_{B}(A;a)$ и касательный конус Кларка $T_{C}(A;a)$. Также используя понятие разности Минковского $A\stackrel{*}{-}B \doteq \{x \in E \mid x+ B \subset A\}$ и, следуя работам [2], [3] получаем другие касательные конусы. Например, это – асимптотический нижний касательный конус $T_{AH}(A;a) \doteq T_{H}(A;a) \stackrel{*}{-}T_{H}(A;a)$ и асимптотический верхний касательный конус $T_{AB}(A;a)$. Конусы $T_{L}(A;a)$ при $L \in\{AH,AB\}$ выпуклы, замкнуты и справедливы включения $T_{C}(A;a)\subset T_{AH}(A;a)\subset T_{AB}(A;a)\subset T_{B}(A;a)$.
Определение 1 [1], [2]. $L$-производной, где $L\in\{H,B,C,AH,AB\}$, отображения $F\colon E_1\to \mathcal{P}(E_2)$ в точке $z_0\in\overline{\operatorname{graph}F}\subset Z\doteq E_1\times E_2$ называется многозначное отображение $D_L F(z_0)\colon E_1 \to \mathcal{P}(E_2)$, определяемое по формуле
$$ D_L F(z_0)(u )\doteq \{v \in E_2\mid (u ,v )\in T_L(\operatorname{graph} F;z_0)\}, \qquad u \in E_1. $$

В докладе изучены свойства различных производных как для многозначных отображений, так и для функций. В частности применяя данное определение к действительным функциям, получены новые формулы вычисления производных Кларка, Пено, Адамара и других через производные по направлениям для функций, представимых в виде разности двух выпуклых функций [3].
2. Пусть $T=[t_0,t_1]$ – отрезок, $AC(T,E)$ – банахово пространство абсолютно непрерывных функций $f\colon T\to E$. Пусть $C_0 \subset E$ и $F\colon T\times E\to \mathcal{P}(E)$. Рассмотрим задачу Коши для дифференциального включения
\begin{equation} \tag{1} x'(t)\in F(t,x(t)), \qquad x(t_0) \in C_0, \quad t \in T. \end{equation}
Множество всех решений $x(\,\cdot\,)\in AC(T,E)$ включения $(1)$ на отрезке $T$ обозначим через $\mathcal{R}_T(F, C_0)$.
Следуя [5], в докладе введено понятие измеримо-превдо-липшицевости отображения $F\colon \times E\to \mathcal{P}(E)$ и доказана теорема существования решения дифференциального включения $(1)$ с такой правой частью.
Зафиксируем $\widehat x(\,\cdot\,)\in \mathcal{R}_T(F, C_0)$. Следуя определению 1, сравним $L$-производную правой части включения $(1)$ и $L$-производную отображение $x \to \mathcal{R}_T(F, x)$. Для этого при каждом $t\in T$ обозначим $L$-производные отображения $x\to F(t,x)$ в точке $(\widehat x(t),\widehat x'(t))$ в виде $F'_L(t,u)\doteq D_L F(t,\widehat x(t),\widehat x'(t))(u)$. Тогда $\mathcal{R}_T(F'_L,u_0)$ – множество решений включения $ u'(t)\in F'_L(t,u(t))$ с $u(t_0)=u_0$. Также обозначим нижнюю производную отображения $\mathcal{R}_T(F,\,\cdot\,)\colon E\to \mathcal{P}(AC(T,E))$ в точке $(\widehat x(t_0),\widehat x(\,\cdot\,))$:
$$ D_H(u)\doteq \liminf_{\lambda \to 0}\Bigl(\limsup_{x\to u}\lambda^{-1} (\mathcal{R}(F,\widehat x(t_0)+\lambda x)-\widehat x(\,\cdot\,))\Bigl), \qquad u \in E. $$

Теорема 1. Пусть отображение $F$ измеримо-псевдо-липшицево в окрестности данного решения $\widehat x(\,\cdot\,)\in \mathcal{R}_T(F,C_0)$. Тогда справедливо включение $\mathcal{R}_T(F'_H, u_0) \subset D_H (u_0)$ для любого $u_0\in E$.
Теорема 2 [6]. Пусть $K_0$ – замкнутый выпуклый конус в $E$. Пусть $F\colon T\times E\to \mathcal{F}(E)$ таково, что $ F(t,x) \doteq \{y \in E \mid (x,y) \in K(t)\}$, где $K(t)$ – замкнутый выпуклый конус в $E\times E$, измеримо зависящий от $t\in T$, т.е. $F(t,\,\cdot\,) \colon E \to E$ – выпуклый процесс. Пусть существует функция $\gamma (\,\cdot\,)\in L_1(T,\mathbb{R}^1_+)$ такая, что $ \|F(t,\,\cdot\,)\| \leq \gamma (t)$, $t \in T$. Тогда полярный конус $(\mathcal{R}_{T}(F,K_0))^0$ состоит из пар точек $b^*\in E^*$ и функций $y^*(\,\cdot\, )\in L_\infty(T,E^*)$ таких, что для каждой такой пары найдётся функция $x^*(\,\cdot\, )\in L_1(T,E^*)$, для которой:
$$ b^*-\int_{t_0}^{t_1} x^*(s)\,ds\in K_0^0, \qquad \biggl(x^*(t), y^*(t)-\int_{t}^{t_1}x^*(s)\,ds \biggr)\in K^0(t)\quad \forall t\in T. $$

3. Задача оптимизации для дифференциального включения. Пусть $\varphi \colon E\to \mathbb{R}^1$ – локально липшицево, множество $C_0\subset E$ замкнуто. На отрезке $T\doteq [t_0,t_1]$ рассмотрим задачу (см. [5]):
\begin{equation} \tag{2} \operatorname{Minimize}\{\varphi (x(t_1))\mid x(\,\cdot\,)\in \mathcal{R}_{T}(F,C_0)\}. \end{equation}
Пусть $\widehat x(\,\cdot\,)\in \mathcal{R}_{T}(F,C_0)$ – решение задачи $(2)$, и $F\colon T\times E\to \mathcal{P}(E)$ измеримо-псевдо-липшицево в окрестности этого решения. Пусть замкнутый выпуклый конус $K(t) \subset E\times E$ измеримо зависит от $t \in T$ и
$$ K(t)\subset T_{H}(\operatorname{graph} F(t,\,\cdot\, );(\widehat x(t),\widehat x'(t))) \qquad \forall t \in T. $$
Любой из конусов $T_{L}(\mathrm{graph} F(t,\,\cdot\, ); (\widehat x(t),\widehat x'(t)))$ при $L \in \{C,AH1,AH2\}$ является примером такого конуса $K(t)$. Обобщая [7], получаем
Теорема 3. Пусть $\widehat x(\,\cdot\, )$ — локальное в $AC(T,E)$ решение задачи $(2)$. Тогда существует функция $p(\,\cdot\,)\in AC(T,E^*)$ такая, что
$$ p(t_0)\in T_{AH}^0 (C_0,\widehat x(t_0)),\quad p(t_1)\in{-}\partial^+_{AB}\varphi (\widehat x(t_1)), \qquad (p'(t),p(t))\in K^0(t)\quad \forall t\in[t_0,t_1]. $$


Список литературы

1. Aubin J.P., “Contingent derivatives of set-valued maps and existence of solutions to nonlinear inclusions and differential inclusions”, Adv. Math. Suppl. Studies, Acad. Press, New York, 1981, 160–272  
2. Половинкин Е.С., Теория многозначных отображений, Изд-во МФТИ, М., 1983
3. Половинкин Е.С., Балашов М.В., Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа, Физматлит, М., 2007  
4. Половинкин Е.С., “О некоторых свойствах производных многозначных отображений”, Тр. МФТИ, 4:4 (2012), 141–154  
5. Половинкин Е.С., “Теорема существования решений дифференциального включения с псевдо-липшицевой правой частью”, Нелинейный мир, 10:9 (2012), 571–578
6. Половинкин Е.С., “О вычислении полярного конуса к множеству решений дифференциального включения”, Дифференциальные уравнения и динамические системы, Тр. МИАН, 278, МАИК, М., 2012, 178–187    
7. Polovinkin E.S., “Necessary Conditions for Optimization Problems with Differential Inclusion”, Set-valued Analysis and Differential Inclusions, Progress in Systems and Control Theory, 16, Birkhäuser, 1993, 157–170