Fundamental groups of spaces of trigonal curves

Фундаментальные группы пространств неособых гиперповерхностей в фиксированных линейных системах на алгебраических многообразиях – это одно из естественных обобщений группы кос. Именно такие группы возникают, если пытаться обобщать метод кос в теории вещественных алгебраических кривых на большие размерности. Мы делаем первый шаг в этом направлении.
Пусть $\Sigma_k$ - поверхность Хирцебруха, т.е. рациональная линейчатая поверхность, $q:\Sigma _k \rightarrow {\rm C} {\rm P}^1$ - соответствующее ${\rm C} {\rm P}^1$-расслоение с исключительным сечением $s$, $s^2=-k<0$. Слои расслоения $q$ называются вертикальными.
Тригональной кривой на $\Sigma_k$ называется такая приведённая кривая $C\subset\Sigma_k$, не пересекающая образ сечения $s$, что сужение $q_C:C\rightarrow {\rm C} {\rm P}^1$ имеет степень 3.
Обозначим через $Trig_k$ множество всех тригональных кривых на $\Sigma_k$.
При стягивании исключительного сечения в точку поверхность $\Sigma_k$ превращается во взвешенную проективную плоскость ${\rm P}(1,1,k)$ с координатами $x_0, x_1, y$, имеющими веса $1,1,k$, а тригональная кривая $C\subset\Sigma_k$ превращается в кривую, задаваемую уравнением Вейерштрасса
\begin{equation} y^3+b(x_0,x_1)y+w(x_0,x_1)=0,\label{1} \end{equation}
где $b$ и $w$ - однородные многочлены степеней $2k$ и $3k$. Многочлены $b$, $w$ определяются кривой $C$ однозначно с точностью до преобразования
\begin{equation} (b,w) \mapsto (t^2b,t^3w), \, t\in {\rm C}^*, \label{2} \end{equation}
поэтому $Trig_k={\rm P}(2,\ldots,2,3,\ldots,3)$ есть взвешенное проективное пространство комплексной размерности $5k+1$.
Пусть $d=4b^3+27w^2$ - дискриминант по $y$ уравнения (\ref{1}). Функция $j:{\rm C} {\rm P}^1\rightarrow {\rm C} {\rm P}^1, j=4b^3/d$, называется $j$-инвариантом кривой $C$. Построим звезду $St(j)$, проведя в ${\rm C}{\rm P}^1$ из каждого мнимого критического значения функции $j$ луч в $\infty$ (один луч может содержать другой). Граф ${\rm T}\Gamma(j)=j^{-1}({\rm R}{\rm P}^1\cup St(j))$ на ${\rm C} {\rm P}^1\cong S^2$ назовём тетратомическим графом тригональной кривой (ср. [1], п.5.3.1).
Обозначим через $J: Trig_k\rightarrow JTrig_k$ отображение, переводящее тригональную кривую в её $j$-инвариант. Пространство ${\rm T}\Gamma_k={\rm T}\Gamma(JTrig_k)$ тетратомических графов тригональных кривых можно отождествить с фактор-пространством $Trig_k/PGL(2, {\rm C})$. Заметим, что последнее
является пространством модулей тригональных кривых на $\Sigma_k$.
С помощью отображения Ляшко-Лойенги (см. [2], § 5.1), заданного на $JTrig_k$, строится клеточное разбиение пространства ${\rm T}\Gamma_k$.
Кривая $C\in Trig_k$ называется почти общей, если она неособа и не имеет перегибов с вертикальными касательными. Пусть $NSing_k\subset Trig_k$ – пространство неособых тригональных кривых, а $AlGen_k\subset NSing_k$ – подпространство почти общих кривых.

Теорема. Группы $\pi_1(AlGen_1)$ и $\pi_1(NSing_1)$ являются расширениями свободных групп, соответственно, с 9-ю и 8-ю образующими при помощи группы ${\rm Z}_2$, а двумерные гомотопические группы этих пространств тривиальны.
Доказательство использует двойственное разбиение к упомянутому выше клеточному разбиению пространства тетратомических графов.
Для фундаментальных групп пространств $AlGen_k$ и $NSing_k$ находятся их образы в сферической группе кос из $6k$ нитей, рассматриваемой как конфигурационное пространство корней дискриминанта $d$ уравнения (\ref{1}).