Kinetic energy statistics partitions in multidimensional systems of classical particles

Рассмотрим систему $N\geq 2$ классических частиц (материальных точек) с массами $m_1,m_2,\dots,m_N$ и радиус-векторами $\mathbf r_1(t),\mathbf r_2(t),\dots,\mathbf r_N(t)$ в $d$-мерном евклидовом пространстве $\mathbf R^d$ ($d\geq 1$). Будем считать, что центр масс этой системы неподвижен и совпадает с началом координат. Несколько лет тому назад совместно с V. Aquilanti и A. Lombardi [1–3] мы определили ряд разбиений полной кинетической энергии $T$ такой системы
$$ T = \frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^N m_{\alpha}\dot{\mathbf r}_{\alpha}^2 = \frac{M}{2}\sum_{\alpha=1}^N \dot{\mathbf q}_{\alpha}^2, \qquad M = \sum_{\alpha=1}^N m_{\alpha}, \quad \mathbf q_{\alpha} = (m_{\alpha}/M)^{1/2}\mathbf r_{\alpha}, $$
на слагаемые, отвечающие различным модам движения. Каждый член этих разбиений является функцией матрицы позиций $Z$ размера $d\times N$ (столбцы которой суть $\mathbf q_1,\mathbf q_2,\dots,\mathbf q_N$), ее производной по времени $\dot{Z}$ и суммарной массы системы $M$ и инвариантен относительно преобразований $(Z,\dot{Z}) \mapsto (RZQ,R\dot{Z}Q)$, где $R\in\mathrm O(d)$ и $Q\in\mathrm O(N)$ — произвольные ортогональные матрицы. В частности, $T=(M/2)\mathrm{Trace}(\dot{Z}\dot{Z}^{\ast})$, где звездочка означает транспонирование. Среди элементов разбиений есть, например, слагаемые, соответствующие вращениям системы как целого, изменениям т. н. гиперрадиуса системы $\rho=[\mathrm{Trace}(ZZ^{\ast})]^{1/2}$, изменениям “формы” системы, перестановкам частиц и т. п. Некоторые компоненты $T$, описывающие связь между модами, могут принимать и отрицательные значения.
Вопрос о статистике слагаемых рассматриваемых разбиений кинетической энергии $T$ при случайном выборе координат и скоростей частиц малоисследован. Мы провели масштабное численное моделирование систем $3\leq N\leq 100$ частиц в физически интересных размерностях $d=2$ и $d=3$ для двух случаев: а) массы всех частиц равны и б) массы частиц разыгрываются случайно. В полном соответствии с идеологией В. И. Арнольда о численных экспериментах как мощном источнике новых математических теорем [4] наши вычисления показали, что в ситуации равных масс средние значения $\mathsf E$ почти всех компонент кинетической энергии $T$ (в нормировке $T=1$) выражаются через число частиц $N$ и размерность пространства $d$ посредством очень простых формул:
\begin{gather*} \mathsf E\,T_{\Lambda}=1-\frac{1}{d\nu}, \quad \mathsf E\,T_{\rho}=\frac{1}{d\nu}, \quad \mathsf E\,T_{\Lambda}=1-\frac{1}{d\nu}, \\ \mathsf E\,T_{\rho}=\frac{1}{d\nu}, \quad \mathsf E\,T^{\mathrm{rot}}=1-\frac{\omega}{d\nu}, \quad \mathsf E\,T^I=\frac{\omega}{d\nu}, \quad \mathsf E\,T_{\xi}=\frac{\omega-1}{d\nu}, \\ \mathsf E\,T^{\mathrm{ext}}=\frac{\omega(2d-\omega-1)}{2d\nu}, \quad \mathsf E\,T^{\mathrm{int}}=\frac{\omega(2\nu-\omega-1)}{2d\nu}, \quad \mathsf E\,T^{\mathrm{res}}=0, \\ \mathsf E\,T_J=\frac{d-1}{d\nu}, \quad \mathsf E\,T_K=\frac{\nu-1}{d\nu}, \quad \mathsf E\,T_{\mathrm{ac}}=1-\frac{d+\nu+\omega-2}{d\nu}, \\ \mathsf E\,E^{\mathrm{out}}_2=1-\frac{\omega}{d}, \quad \mathsf E\,E^{\mathrm{in}}_2=1-\frac{\omega}{\nu}, \end{gather*}
где $\nu=N-1$ и $\omega=\min(d,\nu)$. Определение величин $T_{\Lambda},T_{\rho},\ldots,E^{\mathrm{in}}_2$ дано в статьях [1–3]. Эти формулы доказаны “на физическом уровне строгости” (при $N=2$ они почти очевидны). Из наших расчетов также видно, что средние значения компонент $T$, возрастающие (убывающие) с увеличением $N$, в ситуации равных масс больше (соответственно меньше), чем в ситуации случайных масс для того же $N$ (кроме, может быть, малых $N$). Результаты моделирования для $d=3$ приведены в [3].
Работа частично финансируется грантом Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ РФ (номер НШ-4850.2012.1).