Аннотация:
Курс построен на контрасте «трёхмерные многогранники устроены просто» vs «начиная с размерности 4, многогранники устроены универсально сложно».
Программа курса:
1. Первый контринтуитивный пример: циклический многогранник.
2. Теорема Штейница (о простой комбинаторной природе трехмерных многогранников) и следствия из нее: форму грани трехмерного многогранника можно предписать, любой комбинаторный тип многогранника может быть реализован в рациональных числах.
3. В старших размерностях и теорема Штейница, и следствия из нее перестают иметь место. И это хорошо, так как контрпримеры дают нам набор комбинаторных «инструментов» и «кубиков лего», которые будем всячески сочетать (приветствуется фантазия).
4. Теорема универсальности Мнева, или, по меткому выражению Р. Вакила, «Закон Мерфи для выпуклых многогранников» будет получена в результате следующей цепочки конструкций: Комбинаторика плоских точечных конфигураций – Точечные конфигурации кодируют алгебраические соотношения – по плоской точечной конфигурации можно построить выпуклый многогранник.
5. Разнообразие приемов: теорема универсальности для шестимерных многогранников (через зонотопы), теорема универсальности для четырехмерных многогранников (многогранник с «большой» гранью).
От слушателей требуется представление о (многомерном) евклидовом пространстве.
Например, хорошо понимать, что уравнение $4x-3y+7z+t=8$ задает гиперплоскость в четырехмерном пространстве.
Рекомендуемая литература: J. Richter-Gebert, Realization spaces of polytopes, Lecture Notes in Math., Springer, 1996.
Обратная связь: