Комбинаторные и эргодические свойства некоторых отображений сдвигов отрезков

Перекладывания отрезков - это класс кусочно-линейных отображений интервала, естественным образом возникающих во многих различных задачах, например в качестве отображений Пуанкаре для геодезических потоков на римановых поверхностях и биллиардов в многоугольниках. В работе Бошерницана и Корнфельда ([1]) был рассмотрен более широкий класс отображений, обобщающий перекладывания - так называемые отображения сдвигов отрезков. В этой же работе было показано, что динамическая система, порождаемая таким отображением, сопряжена либо перекладыванию отрезков, либо сдвигу на некотором канторовском множестве, называемом аттрактором системы. Символическая динамика - один из основных инструментов исследования свойств динамических систем, порождаемых отображениями сдвигов отрезков второго типа. В тех случаях, когда этот подход удается применить, он позволяет сводить задачу к комбинаторике бесконечных слов. В частности, если удается построить символическую динамическую систему, сопряженную исходной, то ее комбинаторная сложность дает оценку сверху на число инвариантых мер исходной системы. В отличие от перекладываний отрезков, в изучении динамики которых плодотворно применяется теория римановых поверхностей, в частности геометрия Тейхмюллера, для исследования отображений сдвигов отрезков символическая динамика пока что остается практически единственным инструментом. В своем докладе я расскажу про отображения сдвигов отрезков, их взаимосвязь с перекладываниями, а также о недавнем прогрессе в изучении динамических свойств некоторых подклассов этих отображений.

Список литературы

1. M. Boshernitzan and I. Kornfeld, “Interval translation mappings”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 15:5 (1995), 821–832