Возмущения конечнозонных решений: авторезонанс и диссипация

Управление периодическими режимами в динамических системах зачастую происходит путем малой возмущающей силы. На этом пути возможно как затухание, так и возрастание амплитуды колебаний. Авторезонанс — это способ увеличения амплитуды нелинейных колебаний, работающий в широком диапазоне параметров и не зависящий от деталей системы. Он заключается в малой квадратичной по времени добавке к частоте периодической накачки, что приводит к появлению резонанса системы с частотой накачки. Авторезонанс обычно связан с возбуждением одночастотной моды колебений. Однако можно построить модели многочастотного авторезонанса, который происходит в конечнозонных интегрируемых системах. Это явление обусловлено существованием устойчивых инвариантных торов, управляемых интегралами движения. В докладе построены примеры возникновения авторезонанса в результате деформации Уизема инвариантных торов. Это также дает возможность переводить определенное начальное n-периодическое движение в заданное m-периодическое движение.
В качестве модели диссипативного возмущения рассмотрен волчок Эйлера, вращающийся вокруг средней оси инерции. Здесь малое возмущение приводит к периодической смене ориентации волчка на большом интервале времени ("эффект Джанибекова"). Показано, как в данном случае общее решение системы Эйлера в эллиптических функциях вырождается в тригонометрическое решение.