Аннотация:
Пусть $\Gamma$ — кофинитная группа движений гиперболической плоскости, т.е. фундаментальная область $F = F(\Gamma)$ не компактна, но имеет конечную область.
В этом случае оператор Лапласа на $F$ имеет дискретный спектр
$$
0 = \lambda_0 < \lambda_1 \le \lambda_2 \ldots
$$
и непрерывный спектр, покрывающий интервал $[\frac{1}{4}, \infty)$. Основной интерес представляет зависимость от $\Gamma$ функции распределения
собственных значений
$$
N_{\Gamma}(x) = \sum_{\lambda_n \le x} 1 \, .
$$
Рельке предполагал, что $N_{\Gamma}(x) \to \infty$ (при $x \to \infty$) для любой кофинитной группы $\Gamma$.
С другой стороны, согласно гипотезе Сарнака $N_{\Gamma}(x) < B_{\Gamma}$ для большинства групп $\Gamma$ общего положения.
Кроме спектра $\{ \lambda_n\}$ для любой кофинитной группы $\Gamma$ определен спектр резонансов
$$
\{ \; s_{\alpha} = \beta_{\alpha} + i \gamma_{\alpha} \; \} \, ,
$$ где $ -\sigma_0 < \beta_{\alpha} < \frac{1}{2} $, и константа $\sigma_0 > 0$ зависит от группы $\Gamma$.
В докладе будет дано определение резонансов и рассказано о связях двух указанных спектров. В частности, будет указано условие на спектр резонансов, при выполнении которого
$$
N_{\Gamma}(x) > C_{\Gamma} \cdot \sqrt{x} \, .
$$
Обратная связь: