Инвариантные банаховы пределы

Почти сходимость, банаховы пределы и функционалы Сачестона.
Классическая операция взятия предела является непрерывным линейным функционалом на пространстве сходящихся последовательностей. По теореме Хана-Банаха этот функционал может быть продолжен на более широкое пространство - пространство ограниченных последовательностей - с сохранением нормы. Такое продолжение не единственно и приводит к понятию банаховых пределов, анонсированных С. Мазуром и описанных С. Банахом. Банаховым пределов называется непрерывный, положительный, нормированный, инвариантный относительно сдвига линейный функционал на пространстве ограниченных последовательностей, совпадающий с обычным пределом на любой сходящейся последовательности.
С банаховыми пределами тесно связано понятие почти сходимости, введëнное Г.Г. Лоренцем. Ограниченная последовательность называется почти сходящейся, если значение банахова предела на ней не зависит от выбора этого банахова предела. Почти сходящиеся последовательности образуют подпространство пространства ограниченных последовательностей. Верхним и нижним (нелинейными) функционалами Сачестона называются максимальное и минимальное значение, которое все банаховы пределы могут принимать на данной последовательности. Множество ограниченных последовательностей называется разделяющим, если для любых двух различных банаховых пределов в нём найдëтся хотя бы один элемент, на котором эти банаховы пределы принимают различные значения. Так, разделяющим является множество всех последовательностей, состоящих из нулей и единиц. Естественным усилением требования инвариантности относительно сдвига является требование инвариантности относительно некоторых других операторов - например, оператора растяжения, оператора Чезаро и т.д., что приводит к концепции инвариантных банаховых пределов. Не всякий банахов предел инвариантен даже относительно такого естественного оператора, как оператор повторения элементов последовательности.
В работе изучаются: свойства пространства почти сходящихся последовательностей и критерии принадлежности последовательности этому пространству; специальные асимптотические характеристики ограниченных последовательностей; инвариантные банаховы пределы и новые классы линейных операторов, определённые с их использованием; свойства множеств, определённых с помощью функционалов Сачестона.