Аннотация:
Пусть $Q\geqslant 1$. Рядом Фарея $\Phi(Q)$ порядка $Q$ называется множество упорядоченных по возрастанию правильных несократимых дробей, знаменатели которых не превосходят $Q$, например:
Дроби Фарея обладают целым рядом замечательных свойств.
Ряды Фарея, открытые более двух столетий назад, долгое время служили вспомогательным инструментом для решения многих задач аналитической теории чисел. Так, их свойства существенным образом используются в так называемом круговом методе, восходящем к Г.Х.Харди и C.Рамануджану. Оказывается, однако, что ряды Фарея являются источником задач, представляющих и самостоятельный интерес.
Так, ровно сто лет назад обнаружилось, что простенькие с виду утверждения о дробях Фарея равносильны — ни много, ни мало — справедливости знаменитой гипотезы Римана о нулях дзета-функции $\zeta(s)$.
Далее, сравнительно несложно вывести асимптотику для суммы квадратов расстояний между соседними дробями Фарея. А что будет, если рассмотреть расстояния между дробями, взятыми «через один» или, более общо, с шагом $h\geqslant 2$ т.е. суммировать квадраты разностей $r_{n+h}-r_{n}$?
Поиск решения этой задачи привёл в 2001 году трёх авторов — Ф.Бока, К.Кóбели и А.Захареску к открытию нового и красивого метода изучения арифметических и статистических свойств дробей Фарея. Говоря коротко, этот метод позволяет сводить подсчёт дробей заданного ряда Фарея, удовлетворяющих определённым арифметическим условиям, к подсчёту целых точек в некоторых плоских выпуклых областях.
Цель нашего миникурса двоякая: во-первых, рассказать слушателям от том, как именно связаны дроби Фарея и гипотеза Римана и, во-вторых, познакомить их с основами метода Бока, Кóбели и Захареску.
От слушателей предполагается знакомство с основными понятиями элементарной теории чисел и математического анализа (дифференцирование и интегрирование).
Программа курса
1. Определение и простейшие свойства дробей Фарея. Функция Эйлера $\varphi(n)$. Функция Мёбиуса $\mu(n)$. Дзета-функция Римана $\zeta(s)$ и её разложение в эйлеровское произведение. Сумматорная функция
$M(x) = \sum\limits_{n\leqslant x}\mu(n),$
её поведение при $x\to +\infty$ и гипотеза Римана. «Пилообразная» функция $\varrho(u)$; формула Клюйвера. Доказательство теорем Ландау и Франеля о связи
сумм
$$
\sum\limits_{r_{n}\in \Phi(Q)}\biggl(r_{n}-\frac{n}{|\Phi(Q)|}\biggr)^{2},\quad \sum\limits_{r_{n}\in \Phi(Q)}\biggl|r_{n}-\frac{n}{|\Phi(Q)|}\biggr|
$$
с гипотезой Римана.
2. Тройки соседних знаменателей дробей Фарея. Индекс дроби Фарея. Треугольник Фарея $\mathcal{T}$. Определение областей $\mathcal{T}(k)$. Асимптотическая формула для числа дробей ряда $\Phi(Q)$, обладающих заданным индексом.
3. Четвёрки соседних знаменателей дробей Фарея. Задача о парах соседних дробей ряда $\Phi(Q)$, имеющих заданные индексы $k_{1}$ и $k_{2}$. Определение BCZ-преобразования $T: \mathcal{T}\to \mathcal{T}$ и его простейшие свойства. Области $\mathcal{T}(k_{1},k_{2})$ и нахождение асимптотики для числа указанных пар дробей.
4. (Если останется время) Дальнейшие обобщения. Формулировка известных результатов о распределении дробей, знаменатели которых принадлежат заданным прогрессиям по модулям $2$ и $3$. Открытые проблемы.
Обратная связь: