Арифметическая комбинаторика. Семинар 1

Арифметическая комбинаторика занимается изучением комбинаторных свойств конечных подмножеств различных алгебраических структур по отношению к имеющимся там операциям. При этом неожиданно оказывается, что самые простые и естественно возникающие вопросы тесно связаны с изначально весьма далёкими областями математики, такими, как, например, гармонический анализ, геометрия чисел или эргодическая теория.

После краткого обзора этой теории мы сконцентрируемся на следующих двух центральных задачах. В обеих за последние несколько лет был достигнут значительный прогресс.

1. Полиномиальная гипотеза Фреймана—Ружи. Пусть $A$ — конечное подмножество абелевой группы, для которого размер суммы Минковского $A+A=\{a+a' | a,a'\in A\}$ лишь ненамного превосходит размер самого $A$. Что можно сказать о строении $A$?

2. Теорема Семереди об арифметических прогрессиях. Насколько большим может быть подмножество $\{1,\ldots,N\}$, не содержащее $k$-членных арифметических прогрессий?