О парах Рунге для решений сильно равномерно параболических операторов

Исследование навеяно аппрокисмационными теоремами Рунге для голоморфных функций в плоских областях, имеющими хорошо известные аналоги в пространствах гармонических функций (теорема Мергеляна) и в пространствах решений эллиптических и параболических операторов (B. Malgrange, F. Browder, B. Jones). Пусть $G_1, G_2 $ — области с достаточно регулярными границами в некоторой полосе ${\mathbb R}^{n} \times [0,T]$, $T>0$, $n \geq 2$, такие, что $G_1 \subset G_2$. Исследуется задача об аппроксимации решений сильно равномерно $2m$-параболического оператора $\mathcal L$ в области $G_1$ решениями этого же оператора в области $G_2$. Предполагается, что коэффициенты оператора удовлетворяют стандартным условиям непрерывности и гельдеровости, гарантирующим свойство нормальности, а сам оператор $\mathcal L$ и его формально сопряженный оператор ${\mathcal L}^*$ обладают свойством единственности относительно пространственных переменных в полосе ${\mathbb R}^{n} \times [0,T]$. Кроме того, при изучении вопроса в нецилиндрических областях, нам необходима гладкость коэффицентов оператора относительно переменной $t$. Сначала мы доказываем, что пространство решений $S _{\mathcal L}(G_2)$ оператора $\mathcal L$ в области $G_2$ всюду плотно пространстве $S _{\mathcal L}(G_1)$, снабженное стандартной топологией Фреше равномерной сходимости на компактах области $G_1$, в том и только том случае, когда множества $G_2 (t) \setminus G_1 (t)$ не имеют непустых компактных компонент в $G_2 (t)$ для каждого $t\in \mathbb R$, где $G_j (t) = \{x \in {\mathbb R}^n: (x,t) \in G_j\}$. Далее, при дополнительных условиях на регулярность ограниченных областей $G_1$ и $G_1(t)$, мы доказываем, что решений класса Лебега $L^2(G_1)\cap S _{\mathcal L}(G_1)$ могут быть аппроксимированы решениями из $S _{\mathcal L}(\overline G_2)$ тогда и только тогда, когда выполнено то же самое условие на множества $G_2 (t) \setminus G_1 (t)$, $t\in \mathbb R$.
Исследование поддержано Красноярским математическим центром, финансируемым Минобрнауки РФ (Соглашение 075-02-2024-1429) и Министерством науки и высшего образования Российской Федерации, соглашение № 075-10-2021-093; проект MTH-RND-2124). Оно проведено совместно с П. Ю. Вилковым, Сибирский федеральный университет, Институт математики и фундаментальной информатики. e-mail: pavel_vilkov17@mail.ru