Теорема Ньютона о неинтегрируемости овалов и монодромия

Всякое тело (т.е. область евклидова пространства $\mathbb R^n$, ограниченная замкнутой гладкой гиперповерхностью) определяет двузначную функцию на пространстве аффинных гиперплоскостей (называемую функцией объёма): её значения равны объёмам двух частей, отсекаемых гиперплоскостью от этого тела. Архимед установил, что функция объёма алгебраична в случае стандартного шара в $\mathbb R^3$. Позже И. Ньютон доказал (лемма XXVIII в «Principia»), что в случае гладкого плоского выпуклого овала функция объёма не может быть алгебраической. Его доказательство уже использует соображения монодромии, однако не обобщается на другие чётные размерности. В. И. Арнольд спустя 300 лет заметил, что, поскольку полуалгебраичность границы тела — необходимое условие для алгебраичности функции объёма (алгебраической интегрируемости тела), имеет смысл выйти в комплексную область, т.е. рассмотреть комплексификации всех участвующих в задаче объектов: границ тел, гиперплоскостей, формы объёма. Новое доказательство, опирающееся на формулу Пикара–Лефшеца, легко обобщается на все пространства чётной размерности. В. И. Арнольд поставил следующие задачи: верна ли теорема Ньютона для невыпуклых чётномерных тел? Cуществуют ли другие примеры алгебраически интегрируемых нечётномерных тел, кроме шаров (и эллипсоидов)? Ответ на первый вопрос был дан В. А. Васильевым 9 лет назад arXiv:1407.7221. На докладе планируется обсудить топологические и геометрические препятствия к интегрируемости и разобрать доказательства упомянутых выше теорем. Основное препятствие к интегрируемости — действие монодромии на группе гомологий, связанной с гиперплоскими сечениями поверхности (контуры интегрирования реализуют классы этой группы). Это действие управляет ветвлением функции объёма: бесконечно много значений аналитического продолжения функции объёма на одной гиперплоскости противоречит алгебраичности.