О неравенствах типа Турана, связанных с метрическими оценками наипростейших дробей

В 1939 году П. Туран установил для производной $P_n'$ алгебраических полиномов $P_n$ степени $n$, все нули которых лежат на едини чном отрезке $-1\le x\le 1$, следующее неравенство
$$ \|P_n'\|_{C[-1,1]}>\frac{\sqrt{n}}{6}\,\|P_n\|_{C[-1,1]}, $$
обратное к классическому неравенству А. А. Маркова (справедливому для полиномов общего вида). В докладе обсуждается ряд обобщений неравенства Турана, в частности — случай, когда нули полинома $P_n$ берутся на множестве, большем, чем единичный отрезок. Техника построения этих обобщений использует аппарат метрических оценок наипростейших рациональных дробей (то есть логарифмических производных $\rho_n(x)=P_n'(x)/P_n(x)=\sum\limits_{k=1}^n (x-z_k)^{-1}$ полиномов $P_n$). Под метрическими оценками наипростейших дробей $\rho_n$ подразумеваются оценки меры множеств вида
$$ \{x\in E: \ |\rho_n(x)|\ge \delta\}, \qquad \delta>0 $$
(возможно, с некоторым неотрицательным весом при дроби $\rho_n$), при тех или иных ограничениях на полюсы $z_k$ дроби; здесь $E$ — фиксированное подмножество действительной оси (как правило, $E=[-1,1]$ или $E=\mathbb{R}$).