Лежандрова особенность Арнольда в решении модельного уравнения Гельмгольца с локализованной правой частью

В докладе будет рассматриваться 2-мерное модельное уравнение Гельмгольца с линейным показателем преломления и локализованной правой частью, а также фундаментальное решение этого уравнения. В похожих задачах конструкция асимптотического решения основывается на лагранжевой поверхности, составленной из полутраекторий системы Гамильтона, выпущенных из окружности (пересечении вертикальной плоскости с нулевой поверхностью уровня гамильтониана). Однако непосредственно этот алгоритм применить нельзя, поскольку имеется одна траектория, которая за бесконечное время приходит в особую точку. Это приводит к тому, что асимптотическое решение будет локализовано не только в окрестности проекции 2-мерного лагранжева многообразия в физическое пространство, но и в окрестности проекции особого луча, который “срывается” с негладкой лагранжевой поверхности, нормальная форма (лежандрова версия) которой была давно описана В. И. Арнольдом.