Арифметические свойства «обобщённых дробей Фарея»

Классический ряд Фарея $\Phi_{Q}$ порядка $Q\geqslant 1$ — это множество упорядоченных по возрастанию несократимых рациональных дробей $a/b$ c условиями $0\leqslant a \leqslant b \leqslant Q$. Геометрическую интерпретацию этого ряда получим, если рассмотрим на координатной плоскости $(x,y)$ половинку квадрата вида $0\leqslant y \leqslant x \leqslant Q$. Беря в ней примитивные точки (т.е. точки с целочисленными и взаимно простыми координатами) и проводя к ним отрезки из начала координат, убеждаемся, что угловые коэффициенты полученных отрезков и есть ряд Фарея порядка $Q$.
Вместо половинки квадрата можно рассмотреть достаточно произвольную область $\omega$, лежащую в секторе $0\leqslant y \leqslant x$ (не обязательно выпуклую), и «раздувать» её с коэффициентом $Q$, где $Q\to +\infty$. В раздутой области $Q\omega$ также можно рассмотреть примитивные точки, провести к ним отрезки и упорядочить тангенсы их углов наклона по возрастанию. То, что получится, и есть обобщённый ряд Фарея $\Phi_{Q}(\omega)$, отвечающий области $\omega$. Если область достаточно «хорошая», полученный таким образом ряд Фарея будет обладать, в частности, «модулярным свойством», присущим классическому ряду Фарея: если $c/d < a/b$ — соседние дроби, то непременно $ab-cd = 1$. В докладе же предполагается рассказать о некоторых других арифметических свойствах, присущих как классическому, так и обобщённому рядам Фарея.