Об одной оценке суммы Клоостермана

Неполной суммой Клоостермана называется тригонометрическая сумма вида
$$ S(x, m;a, b) = \sum_{\substack{\nu \leqslant x\\ (\nu, m) = 1}}{ \exp\Big(2\pi i \frac {a\overline{\nu} + b\nu}{m}\Big)}, \quad 1 < x < m, $$
где $m, a, b$ — целые числа, а через $\overline{\nu}$ обозначается вычет, обратный к $\nu$ по модулю $m$, то есть $\nu \overline{\nu \equiv 1 \pmod{m}$}. В начале 1990-х годов А. А. Карацубой был разработан метод, позволяющий получать нетривиальные оценки таких сумм в случае $x < \sqrt{m}$. Основная идея состоит в разбиении переменной суммирования на два множества $A$ и $B$. Все числа из множества $A$ имеют по крайней мере два простых делителя из специального вида интервалов. Сумма по такому множеству разбивается на двойные суммы, каждую из которых можно оценить с помощью метода А. А. Карацубы и его модификации, принадлежащей Ж. Бургейну и М. З. Гараеву. Все числа из множества $B$ таких делителей не имеют, и соответствующая сумма оценивается тривиально.
В докладе будет рассказано о новой оценке неполной суммы Клоостермана, справедливой для простого модуля $m\leqslant m_0$ и целого $a$, $(a, m)=1$, в случае когда длина суммы $x$ удовлетворяет неравенствам
$$ \exp(c (\ln m)^{2/3} (\ln\ln m)^{1/3}) \leqslant x \leqslant \sqrt{m}, $$
где $c > 0$ — абсолютная постоянная. Новшество состоит в чуть более тонком разбиении на множества $A$ и $B$. За счет этого получается уточнение оценки, полученной в 2016 году М. А. Королёвым.