Об алгебрах Ли, связанных с вложенными проективными многообразиями

Со всяким невырожденным вложенным проективным многообразием $X\subset\mathbb{P}(V)$ можно естественным образом связать алгебру Ли $\mathfrak{L}=\mathfrak{L}(X)$. А именно, для каждой неособой точки $x\in X^{\text{reg}$} рассмотрим касательную прямую $\ell\subset\mathbb{P}(V)$ к многообразию $X$ в точке $x$ и соответствующее ей двумерное подпространство $S\subset V$. Определим алгебру Ли $\mathfrak{L}$ с пространством образующих $V$ и определяющими соотношениями вида $[\xi,\eta]=0$, $\forall\xi,\eta\in S$ (по всем $x,\ell$). Возникает любопытный новый алгебраический инвариант вложенного проективного многообразия и ряд естественных вопросов о его структуре. Например, всегда ли алгебра $\mathfrak{L}(X)$ конечномерна? Мы обсудим структуру алгебр $\mathfrak{L}(X)$, опишем их в ряде конкретных примеров и, в частности, ответим на вопрос о конечномерности.