Равномерная аппроксимация функций решениями эллиптических систем и связанные ёмкости

В докладе планируется рассмотреть задачи равномерной аппроксимации функций решениями эллиптических уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений на компактах в комплексной плоскости. Эти задачи восходят к классическим работам Рунге, Уолша, Мергеляна, Келдыша, Витушкина о равномерной аппроксимации голоморфными и гармоническими функциями и многочленами. Сегодня эти задачи изучаются в контексте аппроксимации функций решениями эллиптических уравнений и систем общего вида и в них есть ряд интересных и важных открытых вопросов. В докладе планируется дать краткий обзор соответствующей тематики и обсудить эти открытые вопросы. Главное внимание будет уделено вопросу об аппроксимации функций полиномиальными решениями рассматриваемых уравнений и систем.
Далее в докладе планируется представить результаты недавней совместной работы докладчика и П.В. Парамонова (МГУ им. М.В. Ломоносова) в которой изучаются свойства емкостей в $\mathbb R^N$, $N\geqslant3$, связанных с эллиптическими уравнениями второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами, и определяемых в классах ограниченных и непрерывных функций. Такие емкости интересны тем, что в их терминах были получены недавние результаты об аппроксимации функций решениями рассматриваемых уравнений. Будет рассмотрен вопрос о соизмеримости указанных емкостей с классической гармонической емкостью в соответствующей размерности.
Доклад основан на работах, выполненных при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 22–11–00071).