О совершенстве системы весов, удовлетворяющих уравнению Пирсона с нестандартными параметрами

Меры, порождающие классические ортогональные многочлены, определяются уравнением Пирсона, стандартные параметры которого обеспечивают положительность мер. Случай общих комплексных (нестандартных) параметров также представляет интерес; неэрмитова ортогональность в таком случае рассматривается на кривых в $\mathbb C$.
Некоторые приложения приводят к совместной ортогональности по отношению к нескольким таким мерам. В этом докладе будет представлен универсальный подход, который позволяет доказывать совершенство систем комплексных мер, чьи веса удовлетворяют уравнению Пирсона с нестандартными параметрами. Для системы $r$ мер ортогональности совершенство – это важное свойство, в частности влекущее единственность и всего семейства соответствующих многочленов совместной ортогональности, и соответствующих $(r + 2)$-членных рекуррентных соотношений.
Кроме классических мер будут рассмотрены многочлены, ортогональные по системе классических дискретных мер (Шарлье, Кравчука, Мейкснера или Хана). Соответствующие веса суть решения разностного аналога уравнения Пирсона. Представленный подход позволяет проверить совершенство таких систем при общих значениях параметров. Для некоторых параметров, дискретные меры должны быть заменены непрерывными с носителями на кривых в $\mathbb C$.
Тот же подход можно применять в других нестандартных ситуациях. В. Н. Сорокин рассмотрел на двух целочисленных решётках с чередующимися узлами дискретные меры ортогональности, такие что вес в точках решёток есть произведение классических весов Мейкснера. Поскольку пересечение выпуклых оболочек носителей этих мер непусто, такая система мер не является системой Анжелеско. Для данной системы мы выпишем уравнение Пирсона и аналоги формулы Родрига, а также докажем совершенство. В процессе доказательства мы получим любопытное тригонометрическое тождество.
Это совместное исследование с А. И. Аптекаревым и В. Г. Лысовым.