Нули и полюса дзета-функции Хелсона

Пусть $ \chi \colon \mathbb N \to \mathbb T $, $ \mathbb T = \{ z \in \mathbb C \colon |z|=1 \}$, — мультипликативная функция. Дзета-функция Хелсона $ \zeta_\chi $ определяется так:
$$ \zeta_\chi (s)= \sum_1^{\infty}\chi(n)n^{-s}. $$
Дзета-функция Римана, таким образом, является частным случаем дзета-функции Хелсона.
С таким определением $ \zeta_\chi $ — аналитическая функция в полуплоскости $\operatorname{Re} s > 1 $, для которой можно также написать произведение Эйлера
$$ \zeta_\chi (s)=\prod_p \frac{1}{1-\chi(p)p^{-s}} . $$
В частности, у $\zeta_\chi$ отсутствуют нули в области $\operatorname{Re} s > 1 $.
Результат Х. Хелсона [1] утверждает, что для почти всех $\chi$'s функция $ \zeta_\chi $ продолжается аналитически на область $\operatorname{Re} s > 1/2$ и продолжение не имеет нулей в этой области. Тем не менее, как показывает пример дзета-функции Римана, дзета-функция Хелсона может продолжаться и на большие области, а также иметь нули либо полюса в них. В данном докладе будет рассказано, что множество нулей и полюсов дзета-функций Хелсона в полосе $1>\operatorname{Re} s >1/2 $ может быть практически любым.
А именно, для любых потенциальных множеств нулей и полюсов (без точек накомпления, что является необходимым условием для аналитической функции) в полосе $ 1>\operatorname{Re} s > 21/40 $ существует дзета-функция Хелсона с данными множествами нулей и полюсов. Более того, функцию $ \chi$ можно считать принимающей только три значения. В предположении справедливости гипотезы Римана же $21/40$ может быть заменено на $1/2$.

Список литературы

1. H. Helson, “Compact groups and Dirichlet series”, Arkiv för Matematik, 8:2 (1970), 139–143