Оценки тейлоровских коэффициентов голоморфных отображений круга в себя с неподвижными точками

Изучаются голоморфные отображения единичного круга в себя с внутренней и граничными неподвижными точками. Шур показал, что если степенной ряд $\sum_{k=0}^\infty c_k z^k$ сходится в единичном круге и модуль его суммы ограничен единицей, то коэффициент $c_k$ принадлежит некоторому замкнутому кругу, центр и радиус которого зависят от предыдущих коэффициентов $c_0,c_1,\ldots c_{k-1}$. Полученные им оценки точны на классе всех голоморфных отображений единичного круга в себя [1]. Изучая важный с точки зрения приложений класс голоморфных отображений единичного круга в себя с двумя неподвижными точками (внутренней и граничной), В. В. Горяйнов уточнил оценки Шура для указанного класса [2]. В работе разработан метод, позволяющий находить точные оценки для коэффициентов в случае произвольного набора неподвижных точек. С помощью этого метода получены точные неравенства для первого и второго коэффициентов на классе голоморфных отображений единичного круга в себя с внутренней и $n$ граничными неподвижными точками и фиксированными значениями угловых производных в граничных неподвижных точках.

Список литературы

1. I. Schur, “Über Potenzreihen, die im Innern des Einheitskreises beschränkt sind”, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1917:147 (1917), 205–232
2. В. В. Горяйнов, “Голоморфные отображения единичного круга в себя с двумя неподвижными точками”, Матем. сб., 208:3 (2017), 54–71          ; V. V. Goryainov, “Holomorphic mappings of the unit disc into itself with two fixed points”, Sb. Math., 208:3 (2017), 360–376