О собственных вложениях римановых поверхностей в $\mathbb C^2$

Любая открытая (т.е. некомпактная) риманова поверхность допускает собственное голоморфное вложение в $\mathbb C^3$. Вопрос о том, все ли открытые римановы поверхности допускают собственное голоморфное вложение в $\mathbb C^2$, открыт. Более того, насколько мне известно, открыт даже вопрос о том, все ли открытые римановы поверхности допускают хоть какое-нибудь голоморфное вложение в $\mathbb C^2$. Близкий вопрос – какие аффинные алгебраические кривые алгебраически вкладываемы в $\mathbb C^2$ (известно, что не все). Основная цель доклада – привлечение внимания к этому кругу вопросов.