О задаче описания однородных вещественных гиперповерхностей комплексных пространств

В докладе обсуждаются некоторые подходы к задаче описания голоморфно однородных вещественных гиперповерхностей многомерных комплексных пространств. Рассматриваются также взаимосвязи других видов однородности (аффинная, линейная и т.п.) с основной задачей.
В настоящее время полные (с точностью до локальной голоморфной эквивалентности) описания однородных гиперповерхностей получены в пространствах $ \mathbb C^2 $ и $ \mathbb C^3 $. Так, в основополагающей работе Э. Картана [1] всем известным $3$-мерным вещественным алгебрам Ли сопоставлены их $3$-мерные же орбиты в пространстве $ \mathbb C^2 $, образующие полный список голоморфно однородных гиперповерхностей этого пространства. Список 5-мерных орбит в $\mathbb C^3$ $5$-мерных алгебр Ли голоморфных векторных полей составляет значительную, но не полную часть перечня голоморфно однородных гиперповерхностей этого пространства, приведенного в работе [2].
При этом вместо вещественной гиперплоскости, являющейся (с точностью до голоморфной эквивалентности) единственной вырожденной по Леви голоморфно однородной гиперповерхностью в $\mathbb C^2 $, в пространствах $\mathbb C^{n+1}\ (n \geq 2)$ имеются большие семейства Леви-вырожденных однородных гиперповерхностей. В докладе обсуждается в терминах абелевых подалгебр Ли одно достаточное условие вырожденности по Леви всех $(2n+1)$-мерных орбит в пространствах $\mathbb C^{n+1}\ (n \geq 3) $ для вещественных алгебр Ли той же размерности $(2n+1)$.
В пространстве $\mathbb C^4 $ приводится большое количество новых примеров голоморфно однородных гиперповерхностей, как Леви-невырожденных, так и вырожденных в смысле Леви, но не являющихся голоморфно вырожденными. Приводимые примеры строятся как орбиты алгебр Ли размерности $7$ (минимально возможной для однородных гиперповерхностей пространства $\mathbb C^4 $). В докладе обсуждаются количественные оценки доли $7$-мерных алгебр Ли, допускающих Леви-невырожденные $7$-мерные орбиты в этом пространстве.
Изучение более тонких свойств получаемых примеров (в частности, размерностей их голоморфных стабилизаторов) требует (по аналогии с пространствами $\mathbb C^2$ и $ \mathbb C^3$) привлечения и дополнительной проработки техники нормальных форм в пространствах $\mathbb C^n $ конкретных размерностей. Некоторые результаты, полученные с использованием такой техники, также будут приведены в докладе.
Исследования выполнены за счёт гранта Российского научного фонда № 23-21-00109.

Список литературы

1. E. Cartan, “Sur la géométrie pseudo-conforme des hypersurfaces de l'espace deux variables complexes”, Annali di Matematica Pura ed Applicata, 11:1 (1933), 17–90
2. А. В. Лобода, “Голоморфно однородные вещественные гиперповерхности в $\mathbb{C}^3 $”, Тр. ММО, 81, № 2, МЦНМО, М., 2020, 205–280    ; Trans. Moscow Math. Soc., 81:2 (2020), 169–228