Аннотация:
Пусть $S$ – нормальная комплексная (не обязательно компактная) поверхность и $C\subset S$ – кривая, т.е. эффективный приведённый (возможно, обращающийся в ноль) дивизор Вейля такой, что:
$C$ является связным множеством,
если $C$ – нулевой дивизор, то $C=o\in S$ – это точка,
ростки кривой $C$ (т.е. неприводимые некомпактные компоненты кривой $C$) гомеоморфны диску $\mathbb D_1=\{ z\in\mathbb C\mid |z|< 1\}$ и имеют не
более одной особой точки – образ центра диска $\mathbb D_1$ (называемый центром ростка),
ростки пересекаются между собой и с другими неприводимыми компонентами кривой $C$ только в их центрах.
Пусть $C_0$ – объединение всех неприводимых компактных компонент кривой $C$ (если $C$ не имеет одномерных компактных компонент, то $C_0$ – это точка, общая для всех её ростков). Предполагая, что $S$ вложена в некоторое проективное пространство $\mathbb P^n$, и рассматривая $S$ как вещественное аналитическое многообразие, A. Durfee [1] дал определение трубчатых окрестностей $U\subset S$ кривой $C_0\subset S$, основанное
на существовании собственных полиномиальных функций
$\alpha :X\to \mathbb R$ таких, что $\alpha(x)\geq 0$ для $x\in S$ и $\alpha(\widetilde C_0)=0$, $U=\{ x\in S\mid \alpha(x)< \delta\}$ для $0<\delta \ll 1$.
В докладе будет предложен другой подход к определению множества $\mathcal U_C$ трубчатых окрестностей $U_{\varepsilon}\subset S$ кривой $C_0$, основанный на существовании хороших (по отношению к кривой $\widetilde C=\nu^{-1}(C)$)
эрмитовых метрик (т.е. положительно определеннных эрмитовых
квадратичных форм) $(ds)^2$ на разрешении особенностей $\nu: X\to S$ кривой $C$ и поверхности $S$.
Множество $\mathcal U_C$ обладает следующими свойствами:
множество $\mathcal U_C$ является базой открытых в $S$ подмножеств, содержащих кривую $C_0$,
фундаметальные группы $\pi_1(U_{\varepsilon}\setminus C)$ изоморфны для всех $U_{\varepsilon}\in \mathcal U_C$.
В докладе в терминах двойственного частично двувзвешенного графа разрешения особенностей кривой $C$ (и поверхности $S$) будет дано копредставление фундаментальных групп $\pi_1(U_{\varepsilon}\setminus C)$ для $U_{\varepsilon}\in \mathcal U_C$, являющееся обобщением на общий случай данного Мамфордом [2] копредставления фундаментальной группы дополнения к нормальной особенности в ее окрестности в случае, когда граф разрешения особенности является деревом и все исключительные компоненты разрешения являются рациональными кривыми.
Список литературы
Alan H. Durfee, “Neighborhoods of algebraic sets”, Trans. Amer. Math. Soc., 276, no. 2, 1983, 517–530
Давид Мамфорд, “Топология нормальных особенностей алгебраической поверхности и критерий простоты”, Математика, 10:6 (1966), 3–24; Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., 1961, 5–22
Обратная связь: