Симплектическая и лагранжева геометрия комплексной проективной плоскости (1)

Комплексная проективная плоскость — базовый объект не только в алгебраической геометрии. В равной степени она важна и как один из первых нетривиальных примеров гладкого компактного 4-мерного многообразия, а в симплектической геометрии она является и первым главным примером компактного симплектического многообразия в размерности 4; в торической геометрии она снова выступает как один из первых примеров, на котором осваивается техника дальнейших исследований. Несмотря на кажущуюся простоту проективная плоскость подлежит главным гипотезам в гладкой топологии. Но нас будет интересовать другой вопрос, относящийся к геометрии симплектической. На проективной плоскости, снабженной стандартной кэлеровой формой, имеется вполне интегрируемая система, откуда появляются персонажи следующей после симплектической геометрии — лагранжевы торы. Интересно, что задача классификации лагранжевых подмногообразий далека от полного решения: имеется лишь некоторый набор фактов о топологии лагранжевых подмногообразий. Краткому обзору этой темы будут посвящены предлагаемые лекции.